Вычислить НОД и НОК (большие числа)

 Калькулятор для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух и более чисел.

 Для правильной работы калькулятора:

 В поля для чисел вводятся числа в диапазоне от [1, n].
 Ограничения: для данного калькулятора есть ограничение сверху. Число n должно содержать в себе до 500 символов. То есть максимальная длина числа n — 500.

 Калькулятор вычислит НОД для всех введенных чисел, или НОК, в зависимости от выбранного режима.

 Определение:

 Будем рассматривать только положительные делители чисел. Если b | a₁, … , a_n , то b называется общим делителем чисел a₁, … , a_n. Говоря не на языке математики, если положительное число b делит числа a₁, … , a_n то b является общим делителем чисел a₁, … , a_n. 
 Наибольший из таких общих делителей называется наибольшим общим делителем (НОД) и обозначается a₁, … , a_n  или НОД(𝑎₁, . . . , 𝑎_𝑛).

 Свойства НОД

 Если 𝑏|𝑎, то (𝑎, 𝑏) = 𝑏.
Если 𝑎 = 𝑞𝑏 + 𝑐, то (𝑎, 𝑏) = (𝑏, 𝑐).

 Возьмем например три любых натуральных числа. Пусть A = 145, B = 20, С = 355; Найдем сначала НОД. Можем воспользоваться алгоритмом Евклида, но мы рассмотрим другой способ:

 Разложим все числа на простые множители

145 = 5 ∙ 29
20 = 2² ∙ 5
355 = 5 ∙ 71

 Затем, выписываем те множители, которые входят во все разложения. Видим, что во все три разложения входит только число 5. Значит 5 является наибольшим общим делителем чисел A, B и C.

 Ответ: НОД(A, B, C) = 5.

 Теперь найдем НОК этих же чисел. 

 Аналогично примеру выше, разложим числа на простые множители. Сначала запишем разложение на множители самого большого число, затем остальные числа.

 Теперь найдем в разложении меньших чисел множители, которые не вошли в разложение наибольшего числа. Таковыми являются 29 и 2²

 Ответ: НОК (145; 20; 355) = 41180