Арифметическая прогрессия

 Калькулятор для нахождения n-ого члена и суммы арифметической прогрессии  с решением.

 Использование калькулятора по пунктам. Если вы выбрали следующий пункт в первых двух вопросах:

Ищем n-ый член арифметической прогрессии, если известны k-ый член и разность прогрессии:

В данном случае вам необходимо ввести 4 значения: $$n, k, a_k$$ и разность $$d$$.

Обращаем ваше внимание, что формула  (1 из раздела теория) в данном пункте приведена в общем случае, часто вы можете встретить в других источниках частный случай данной формулы, когда известен только первый член арифметической прогрессии $$a_1$$, в таком случае $$k = 1$$;

Примеры ввода:

 Предположим, нам необходимо найти $$5$$-ый член прогрессии, известно, что $$a_1 = 4$$, $$d = 5$$, значит:

$$n = 5, k = 1, a_k = 4, d = 5$$.

 Или другой случай, когда нам необходимо найти $$11$$-ый член прогрессии, известно, что $$a_4 = 8$$, $$d = 2$$, значит поля заполняются следующим образом:

$$n = 11, k = 4, a_k = 8, d = 2$$

Ищем n-ый член арифметической прогрессии, если известны предыдущий и следующий члены:

Выбрав данные значения для нахождения $$a_n$$ вам необходимо знать предыдущий, то есть $$a_{n-1}$$ и следующий $$a_{n+1}$$ члены.

Примеры ввода:

 Пусть, нам необходимо найти 10-ый член арифметической прогрессии $$(n = 10)$$, нам известно, что $$a_9 = 5$$, и $$a_{11} = 15$$. В таком случае необходимо соответственно заполнить поля калькулятора и получить $$a_{10}$$.

Ищем сумму арифметической прогрессии, если известны первый и последний члены:

Пункт для нахождения суммы первых $$n$$ членов прогрессии. Чтобы найти $$S_n$$ достаточно знать первый $$(a_1)$$ и последний $$(a_n)$$ члены прогрессии. Заполнить необходимые поля и получить ответ.

Ищем сумму арифметической прогрессии, если известны первый член и разность:

В данном пункте для того, чтобы найти $$S_n$$ необходимо знать первый член прогрессии $$a_1$$ и разность $$d$$. Заполнить соответствующие поля и получить сумму первых $$n$$ членов арифметической прогрессии.

Ограничения:

 Вводимые числа $$n$$ и $$k$$ должны быть натуральными.
 Число $$k$$ не должно превышать $$n$$. 
 Все вводимые числа во все подпунктах должны быть не более 100 000 по модулю, то есть от -100 000 до 100 000 включительно.

 Калькулятор поддерживает работу с вещественными числами. 

 Последовательность чисел называется арифметической прогрессией, если разница между любыми двумя последовательными членами всегда одинакова .

 Проще говоря, это означает, что следующее число в последовательности рассчитывается путем добавления фиксированного числа к предыдущему числу в последовательности. Например, 2, 4, 6, 8, 10 − арифметическая прогрессия, потому что разница между любыми двумя последовательными членами в ряду одинакова (4 − 2 = 6 − 4 = 8 − 6 = 10 − 8 = 2).

 Данная разница обозначается как правило за $$d$$. Во всех формулах ниже под разностью $$d$$ подразумевается именно разница между соседними элементами прогрессии.

 Рассмотрим формулы арифметической прогрессии:

 $$a_n = a_k + d(n−k)$$ — формула нахождения $$n$$-ого члена арифметической прогрессии, если известны $$k$$-ый член и разность $$d$$. Отсюда легко заметить, что при $$k = 1$$ получаем формулу, которая наиболее часто встречается в разных источниках, когда известны первый член арифметической прогрессии $$a_1$$ и разность $$d$$:

$$a_n = a_1 + d(n−1)$$

 $$2a_n = a_{n−1} + a_{n+1}$$ — формула нахождения $$n$$-ого члена арифметической прогрессии, если известны предыдущий и следующий члены.

 $$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} * n$$ — данная формула, в отличие от предыдущих, используется для нахождения суммы первых $$n$$ членов арифметической прогрессии, если известны первый член $$a_1$$  и последний член $$a_n$$.

 $$S_n = \frac{2a_1 + d(n−1)}{2} * n$$ — еще одна формула для нахождения суммы арифметической прогрессии, в данном случае должны быть известны первый член $$a_1$$ и разность $$d$$.

Рассмотрим примеры арифметических прогрессий.

Пусть нам дана последовательность чисел, таких как 1, 3, 5, 7, 9 … Мы с легкостью можем сказать, что данная последовательность является арифметической прогрессией, так как каждый член после первого формируется путем добавления константы (в данном случае, 2) к предыдущему числу.
В данном примере разность d найдем как $$d = 3 − 1 = 5 − 3 = 7 − 5 = 9 − 7 = … = 2$$. Таким образом, мы знаем разность $$d$$ и знаем, что, например, второй член прогрессии $$a_2 = 3$$. Подставим данные значения в формулу $$1$$ из раздела теория, чтобы найти, скажем, $$10$$-ый член прогрессии.

$$a_{10} = 3 + 2 * (10 − 2) = 19$$. 

Предположим, мы взяли не второй член $$a_2$$, а скажем первый $$a_1$$ и аналогичным образом хотели найти 10-ый член:

$$a_{10} = 1 + 2 * (10 — 1) = 19$$.

Результат тот же.

 Найдем сумму первых десяти членов этой же прогрессии. Нам известны следующие величины: $$a_1 = 1$$, $$a_n = 19$$ — мы нашли данное значение выше. Этого нам хватит, чтобы воспользоваться формулой 3 из раздела теория. 

$$S_{10} = \frac{1 + 19}{2} * 10 = 100$$

Получили, что сумма первых десяти членов прогрессии равна 100. Проверим себя с помощью формулы 4 из раздела теория. Для нее нам необходимо знать первый член $$a_1$$ и разность d, а мы знаем. что $$a_1 = 1$$, а $$d = 2$$, подставляем в формулу:

$$S_{10} = \frac{2 * 1 + 2 * (10−1)}{2} * 10 = 100$$

Опять же, результат совпал.